पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.2 अभ्यास प्रश्न क्लास 10th गणित
पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.2 अभ्यास प्रश्न के इस ब्लॉग पोस्ट पर आपका स्वागत है , इस पोस्ट में इस प्रश्नावली के अंतर्गत जितने भी उदहारण के सवाल और अभ्यास प्रश्न के सवाल है , सभी का हल बताया गया है ,आप उन्हें जरूर read करे आपको जरूर समझ में आएगा |
उदाहरण :5 संख्याओं 4n पर विचार कीजिए जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, जांच कीजिए की क्या n कोई ऐसा मान है जिसके लिए 4n अंक शून्य (0) पर समाप्त होता है|
हल:- 4n = (2×2)n
= 2n×2n
यह 2n×5n के रूप का नहीं है
अतः 4n कभी शून्य पर समाप्त नहीं होगा
उदाहरण :6 संख्याओं 6 और 20 के अभाज्य गुणनखंड विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए |
हल:- सबसे पहले 6और 20 का गुनणखण्ड करेंगे
6 = 2×3
6 = 2×3
20 = 2×2×5
यहाँ पर (6,20) में ( 2 ) कॉमन
∴ HCF (6,20) = 2 Answer
दोनों में कॉमन और बचे संख्या को गुणा करने पर LCM निकलता है
∴ LCM (6,20) =2×2×3×5 =60
उदाहरण :7 अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए और फिर इसका LCM ज्ञात कीजिए|
हल:- सबसे पहले 96और 404 का अभाज्य गुनणखण्ड करेंगे
96 = 2×2×2×2×2×3
404 = 2×2×101
अतः HCF(96, 404) = 2×2 = ( 22) =4 Answer
LCM (96, 404)= 2×2×2×2×2×3×101 = 9696
LCM निकालने की दूसरी विधि
पहली संख्या × दुसरी संख्या = LCM × HCF
इसलिए
उदाहरण :8 संख्या 6, 72,और 120 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात कीजिए|
हल:- सबसे पहले 6, 72 और 120 का अभाज्य गुनणखण्ड करेंगे
6 = 2× 3
72= 2×2×2×3×3
120 = 2×2×2×3×5
अतः HCF (6, 72, 120 ) = 6 Answer
तथा LCM (6, 72, 120 ) = 2×2×2×3×3×5 =360
प्रश्नावली 1 .2
1 . निम्नलिखित को संख्याओं को अभाज्य गुणन खण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए |
(i) 140
हल:- 140
140 = 2×2×5×7
= 22×5×7 Answer
(ii) 156
हल:- 156
156 = 2×2×3×13
= 22×3×13 Answer
(iii) 3825
हल:- 3825
3825 = 3×3×5×5×17
= 32×52×17 Answer
(iv) 5005
हल:- 5005
5005 = 5×7×11×13 Answer
(v) 7429
हल:- 7429
7429 = 17×19×23 Answer
(vi) 96
हल:- 96
96 = 2×2×2×2×2×3
= 22×3 Answer
(vii) 120
हल:- 120
120 = 2×2×2×3×5
= 22×3×5 Answer
2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिये तथा इसकी जाँच कीजिये की दो संख्याओं का गुणनखंड = HCM x LCM है
(i) 26 और91
हल:- 26 और91
∴ 26 = 2×13
91 = 7×13
HCF(26,91) = 13
LCM(26, 91) = 2×7×13 = 182
(ii) 336 और 54
हल:- 510 और 92
510 = 2×3×5×17
92 = 2×2×23
∴ HCF (510, 92) = 2 Answer
LCM (510, 92) = 2×2×3×5×17×23 = 23460 Answer
(iii) 336 और 54
हल:- 336 और 54
336 = 2×2×2×2×3×7
54 = 2×3×3×3
HCH (336, 54) = 2×3 = 6 Answer
LCM (336, 54) = 2×2×2×2×3×3×3×7 = 3024 Answer
3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों की HCFऔर LCM ज्ञात कीजिए |
(i) 12, 15 और 21
हल:-
12 = 2×2×3
15 = 3×5
21 = 3×7
∴ HCF =3
LCM = 2×2×3×5×7 = 420
(ii) 17, 23 और 29
हल:-
17 = 17×1
23 = 23×1
29 = 29×1
∴ HCF = 1
LCM = 17×23×29 = 11339
(iii) 8, 9 और 25
हल:-
8 = 2×2×2×1
9 = 3×3×1
25 = 5×5×1
∴ HCF = 1
LCM = 2×2×2×3×3×5×5 = 1800 Answer
4. HCF (306,657) = 9 दिया है । LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए l
हल:- HCF (306,657) = 9 तथा LCM (306, 657) = ?
अतः पहली संख्या × दुसरी संख्या = LCM × HCF
LCM = 306 × 657⁄9
LCM = 201042/9
= 22338 Answer
5. जांच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
हल:- यदि कोई संख्या अंक 0 पर समाप्त होता है, तो वह 10 से या 2 और 5 से विभाजित होती है ।
क्योंकि 10 = 2×5
6n के अभाज्य गुणनखंड =(2×3)n
क्योंकि 10 = 2×5
6n के अभाज्य गुणनखंड =(2×3)n
= 2n ×3n
6n के अभाज्य गुणनखंड में 5 नहीं है , इसलिए 6n 5 विभाजित नहीं होगा
जबकि 0 के लिए यह आवश्यक हैl
अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त नहीं होगा ।
6n के अभाज्य गुणनखंड में 5 नहीं है , इसलिए 6n 5 विभाजित नहीं होगा
जबकि 0 के लिए यह आवश्यक हैl
अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त नहीं होगा ।
6. व्याख्या कीजिए की 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्या क्यों है।
हल:- दिया है संख्या = 7×11×13+13
= 7×11×13+13
= 13 (7×11+1 )
= 13 ( 77 +1 )
= 13 ×78
= 13×13×2×3
= 1014 यह एक भाज्य संख्या है ।
चूँकि 1 से बड़ी वे सभी संख्या है, जिनमें अपने और 1 के अतिरिक्त कम से कम एक और संख्या से भाग लग सकेभाज्य संख्या होती है।
फिर संख्या= 7×6×5×4×3×2×1+5
= 7×6×5×4×3×2×1+5
= 5(7×6×4×3×2×1 +1)
= 5(1008+1)
= 5×1009 या 5×1009×1
= 5045 यह एक भाज्य संख्या है ।
चूँकि 1 से बड़ी वे सभी संख्या है, जिनमें अपने और 1 के अतिरिक्त कम से कम एक और संख्या से भाग लग सकेभाज्य संख्या होती है।
7 . किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगाते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को12 मिनट लगता है। मान लीजिये वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना शुरू करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?
हल:- सोनिया द्वार लिया गया समय = 18 मिनट
रवि द्वारा लिया गया समय = 12 मिनट
अतः दोनों का मिलने का समय (18 और 12 ) का LCM होगा
18 = 3×3×2
12 = 3×2×2
अतः LCM = 2×2×3×3 = 36
वे दोनों 36 मिनट बाद पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे
गणित के महत्वपूर्ण सूत्र
क्षेत्रमिति (mensuration )
1.क्षेत्रफल (Area)-(1) त्रिभुज (2) आयत (3) वर्ग (4) चतुर्भुज (5) बहुभुज (6) वृत्त और अर्द्धवृत (7) त्रिज्यखंड और वृत्तखंड
