पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ (प्रश्नावली 1.1) क्लास 10th गणित

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पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ (प्रश्नावली 1.1) Ncert Solution for Class X Math

पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ (प्रश्नावली 1.1) में आप सभी विद्यार्थयों का स्वागत है , इस ब्लॉग पोस्ट में आज हम क्लास 10th के गणित विषय का अध्ययन करेंगे इसमें उदहारण और प्रश्नावली में जितने भी सवाल है उन सभी सवालों का हल उपलब्ध कराया गया है , तो चलिए एक एक करके देखते है –
उदहारण 1:  4052 और 12576 का HCF यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन  विधि ) का प्रयोग करके ज्ञात कीजिये ।
हल :  a = bq + r   जहाँ  0  ≤ r < b
12576 = 4052 × 3 + 420
4052 = 420 ×  9 + 272
420 = 272 × 1 + 148
272 = 148 ×  1 + 124
148 = 124 × 1 + 24
124 = 24 × 5 + 4
24 = 4 × 6 + 0
यहाँ शेषफल 0 प्राप्त  हो गया है , और यहाँ प्रक्रिया भी समाप्त हो जाती है , इस स्थिति में भाजक 4 है ।
अतः  HCF ( 4052 , 12576) = 4 
(12576 , 4052) HCF
4052 | 12576 | 3

               12156
            —————
                420 | 4052 | 9
                            3780
                        ————
                           272 | 420| 1
                                       272
                                  ———
                                     148 | 272 | 1
                                                 148
                                             ———
                                               124 | 148 | 1
                                                            124
                                                       ———
                                                            24 | 124 | 5
                                                                      120
                                                                    ———
                                                                       4 | 24 | 6
                                                                             24
                                                                           ——
                                                                             xx
  अत: ( 12576,4052) का HCF = 4  उत्तर
उदाहरण 2:  दर्शाइए की प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप का होता है तथा प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 2q + 1 के रूप का होता है, जहां q कोई पूर्णांक है।
हल :-  मान  भाज्य = a , भाजक = 2 ,  भागफल  = q  , शेषफल = r
a = bq + r   जहाँ  0  ≤ r < b जहाँ शेषफल r = 0 , 1

विभाजन  एल्गोरिथ्म  द्वारा (a = bq + r)
भाज्य = भाजक  ×  भागफल + शेषफल
धनात्मक पूर्णांक  में  r  का मान  रखने पर
a = bq + r
a1  = 2q + 0 = 2q ( सम पूर्णांक 2 से विभाज्य है )
a2  = 2q + 1

     = 2q + 1 ( विषम पूर्णांक 2 से अविभाज्य है )
धनात्मक विषम पूर्णांक 2q + 1 के रूप का होता है Proved
उदाहरण 3: दर्शाइए की एक धनात्मक विषम पूर्णांक 4q +1 या 4q +3 के रूप का होता है , जहाँ q  एक पूर्णांक है ।

हल :-  मान  भाज्य = a , भाजक b = 4  ,  भागफल  = q  , शेषफल = r
a = bq + r   जहाँ  0  ≤ r < 4  जहाँ शेषफल r = 0 , 1, 2 ,3
विभाजन  एल्गोरिथ्म  द्वारा (a = bq + r)
भाज्य = भाजक  ×  भागफल + शेषफल
धनात्मक पूर्णांक  में  r  का मान  रखने पर
a = bq + r

a1  = 4 q + 0 = 4q ( सम पूर्णांक 2 से विभाज्य है )
a2   = 4 q + 1  ( विषम पूर्णांक 2 से अविभाज्य है)
a3   = 4 q + 2  ( सम पूर्णांक 2 से विभाज्य है )
a4   = 4 q + 3  ( विषम पूर्णांक 2 से अविभाज्य है)
 अतः धनात्मक विषम पूर्णांक   4q +1 या 4q +3 के रूप का होता है Proved
उदाहरण 4: एक मिठाई विक्रेता के पास 420 काजू की बर्फियाँ और 130 बदाम की बर्फियाँ है वह इनकी ऐसी ढेरियाँ बनाना चाहती है कि प्रत्येक ढेरी में बर्फियों की संख्या समान रहे तथा ये ढेरियाँ बर्फी की परत में न्यूनतम स्थान घेरे इस काम के लिए प्रत्येक ढेरी में कितनी बर्फियाँ रखी जा सकती है।
हल :- 420 और 130 का HCF यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से
a = bq + r
भाज्य = भाजक  ×  भागफल + शेषफल
420 = 130  × 3  + 30
130 =  30 × 4  + 10
30 = 10 ×  3  + 0
अतः HCF = 10
इसलिए प्रत्येक प्रकार की बर्फियों के लिए मिठाई विक्रेता 10-10 की ढेरी बना सकता है ।
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(प्रश्नावली 1.1)

1.  निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।

(i) 135 और 225

हल:- 135 और 225 का HCF यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से
a = bq + r
भाज्य = भाजक  ×  भागफल + शेषफल
225 = 135  × 1  + 90
135 =  90 × 1  + 45
90 = 45 ×  2  + 0
अतः HCF = 45 Answer
या 135 |225 |1

                135
            ———
             90 |135 |1
                      90
                    ———
                       45 |90 |2
                             90
                           ———
                             xx
अतः HCF = 45 Answer

(ii)  196 और 38220
हल:-यहाँ भाजक =196 और भाज्य 38220 का HCF यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से
a = bq + r
भाज्य = भाजक  ×  भागफल + शेषफल
38220 = 196  × 195  + 0
अतः HCF = 196 Answer
या 196 |38220 |195

               38220
             —————
                 xxxxx
अतः HCF = 196 Answer

(iii) 867 और 255
हल:-यहाँ  भाजक =255 और भाज्य  867 का HCF यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से
a = bq + r
भाज्य = भाजक  ×  भागफल + शेषफल
867 = 255  × 3  + 102
255 = 102  × 2  + 51
102 = 51  × 2  + 0
अतः HCF = 51 Answer
या 255|867|3

               765
            ———
            102 |255 |1
                       102
                      ———
                       51 |102|2
                             102
                           ———
                             xxx
अतः HCF = 51 Answer
2. दर्शाइए  की कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+ 1, या  6q+3, या 6q+5  के रूप का होता है ,जहाँ  q कोई पूर्णांक है I
हल :-  मान  भाज्य = a , भाजक b = 6  ,  भागफल  = q  , शेषफल = r
a = bq + r   जहाँ  0  ≤ r < 6 जहाँ शेषफल r = 0 , 1, 2 ,3, 4, 5
विभाजन  एल्गोरिथ्म  द्वारा (a = bq + r)
भाज्य = भाजक  ×  भागफल + शेषफल
धनात्मक पूर्णांक  में  r  का मान  रखने पर
a = bq + r

a1  = 6 q + 0 = 6q ( सम पूर्णांक 2 से विभाज्य है )
a2  = 6 q + 1  ( विषम पूर्णांक 2 से अविभाज्य है)
a3  = 6 q + 2  ( सम पूर्णांक 2 से विभाज्य है )
a4  = 6 q + 3  ( विषम पूर्णांक 2 से अविभाज्य है)
a5 = 6 q + 4  ( सम पूर्णांक 2 से विभाज्य है )
a6 = 6 q + 5  ( विषम पूर्णांक 2 से अविभाज्य है)
 अतः धनात्मक विषम पूर्णांक  = 6q +1 या 6q +3 या 6q+5 के रूप का होता है Proved
3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी ) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है , दोनों समूहों को सामान संख्या वाले स्तभों में मार्च करना है , उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है ,जिसमे वे मार्च कर सकते है ?
हल :- 616  और 32  का HCF यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से
a = bq + r
भाज्य = भाजक  ×  भागफल + शेषफल
616 = 32  × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
 अतः HCF= 8
स्तम्भों की अधिकतम संख्या = 8Answer
या 32|616|19

         608
          ———
            8 |32 |4
                32
              ———
               xxx  
अतः HCF= 8
4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए की किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग , किसी पूर्णांक m के लिए 3m  या 3m +1  के रूप का होता है I
पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ (प्रश्नावली 1.1)[ संकेत :- यह मन लीजिये x कोई धनात्मक पूर्णांक है , तब यह 3q , 3q +1 , या 3q +2 के रूप में लिखा जा सकता है ,इनमे से प्रत्येक का वर्ग कीजिये और दर्शाइए की इन वर्गों को 3m  या 3m +1 के रूप में लिखा जा सकता है ]
हल :- माना की x कोई धनात्मक पूर्णांक है , 
तब यह 3q , 3q +1 , या 3q +2 के रूप में लिखा जा सकता है I
⇒ 3q , 3q +1 , या 3q +2 (को वर्ग करने पर )
इसलिए (3q)2 = (9q)2
                   = 3(3q2)
                   = 3m (जहाँ m =3q2 )
       (3q+1)2 = 9q2 +6q + 1
                   = 3( 3q2+2q) +1
                   = 3m +1   (जहाँ m =3q2 +2q)
फिर (3q + 2)2= 9q2 + 12q + 4
                   = 3(3q2 +4q+1)+1
                   =3m+1 (जहाँ m = 3q2+4q+1)
5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए की किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m ,9m +1 ,या 9m +8 के रूप का होता है I
हल :- माना की x कोई धनात्मक पूर्णांक है , 
तब यह 3q , 3q +1 , या 3q +2 के रूप में लिखा जा सकता है I
⇒ 3q , 3q +1 , या 3q +2 (को घन करने पर )
इसलिए (3q)3  = 27q3 
                   = 9(3q2)
                   = 9m (जहाँ m =3q3 )
       (3q+1)3 = (3q)3  +3(3q)2  ×1 + 3(3q )×12 +1
                   = 27q3 +27q2  +9q +1
                   = 9 ( 3q3  +3q2  +q ) +1
                   = 9m +1 (जहाँ m =3q3  +2q2  +q )
फिर (3q + 2)3 = (3q)3  +3(3q)2  ×2  + 3(3q )×22 +8
                   = 27q3 +54q2  +36q +8
                    = 9 ( 3q3  +6q2  +4q ) +8
                   =9m+8 (जहाँ m = 3q3 +6q2 +4q )

गणित के महत्वपूर्ण सूत्र