पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3 अभ्यास प्रश्न के उत्तर NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3 इस post पर NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 प्रश्नावली 1.3 free में उपलब्ध है, जिसको कोई भी students अपने फायदे के लिए आसानी से उपयोग कर सकते हैं| NCERT Solutions के मदद से आप होमवर्क भी आसानी से कर सकते हैं और exams की तैयारी भी कर सकते हैं | ये समाधान NCERT 2022 -23 के नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार तैयार किए गए हैं।
पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3 अभ्यास प्रश्न के इस ब्लॉग पोस्ट पर उन सभी विद्यार्थियों का स्वागत है जो क्लास 9th पास कर लिए है या अभी क्लास 10th में है , इस प्रश्नावली के अंतर्गत हम उन सभी सवालो का हल भी करेंगे जो उदहारण में दिए गए है , साथ में अभ्यास प्रश्न में जो भी सवाल है सभी का उत्तर भी आपको पढ़ने को मिलेगा , तो चलिए शुरू करते है |
पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3 अभ्यास प्रश्न के उत्तर
उदहारण 9. सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है |
हल :- माना की √3 एक परिमेय संख्या है
इसलिए √3=p/q (जहाँ HCF (p,q)r =1 और q≠0है )
p =√3 q
दोनों तरफ वर्ग करने पर
p2 = (√3 q)2
p2 = 3 q2 ……………(i)
या q2 = p2/3
चूँकि p2 , 3 से विभाज्य है इसलिए p भी 3 से विभाजित होगा
पुनः माना p = 3r ( जहाँ r कोई पूर्णांक है)
दोनों तरफ वर्ग करने पर
p2 = (3r)2
p2 = 9r2 ……………………….(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
p2 = p2
या 3 q2 = 9r2
या q2 = 3r2
इसलिए r2 = q2/3
यूँकि q2 3 से विभाज्य है इसलिए q भी 3 से विभाजित होगा
अतः p और q दोनों 3 से विभाज्य है अर्थात दोनों में उभयनिष्ट गुणनखंड 3 है इस लिए √3 एक परिमेय संख्या नहीं है I
अतः √3 एक अपरिमेय संख्या है Proved
उदहारण 10 .दर्शाइए की 5 -√3 एक अपरिमेय संख्या है
हल :- माना की 5 -√3 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 5 -√3 = p/q (जहाँ p और q सह अभाज्य पूर्णांक है तथा q≠0है )
5 – p/q = √3
यहाँ पर 5 – p/q एक परिमेय संख्या है, इसलिए √3 भी परिमेय संख्या है
परन्तु √3 एक परिमेय संख्या नहीं है
अतः 5 -√3 एक अपरिमेय संख्या है proved
उदहारण 11 .दर्शाइए की 3 √2 एक अपरिमेय संख्या है
हल :- माना की 3 √2 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 3 √2 = p/q
√2 = p/3q
या p/3q = √2
यहाँ पर p/3q एक परिमेय संख्या है, इसलिए √2 भी परिमेय संख्या है
परन्तु √2 एक परिमेय संख्या नहीं है
अतः 3 √2 एक अपरिमेय संख्या है proved
पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3 अभ्यास प्रश्न
1 . सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है |
हल :- माना की √5 एक परिमेय संख्या है
इसलिए √5=p/q (जहाँ HCF (p,q)r=1 और q≠0है )
p =√5 q
दोनों तरफ वर्ग करने पर
p2 = (√5q)2
p2 = 5 q2 ……………(i)
या q2 = p2/5
चूँकि p2 , 5 से विभाज्य है इसलिए p भी 5 से विभाजित होगा
पुनः माना p = 5r ( जहाँ r कोई पूर्णांक है)
दोनों तरफ वर्ग करने पर
p2 = (5r)2
p2 = 25r2 ……………………….(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
p2 = p2
या 5 q2 = 25r2
या q2 = 5r2
इसलिए r2 = q2/5
यूँकि q2 5 से विभाज्य है इसलिए q भी 5 से विभाजित होगा
अतः p और q दोनों 5 से विभाज्य है अर्थात दोनों में उभयनिष्ट गुणनखंड 3 है इस लिए √5 एक परिमेय संख्या नहीं है I
अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है Proved
2 . सिद्ध कीजिए की 3 +2√5 एक अपरिमेय संख्या है
हल :- माना की 3 +2√5 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 3 +2√5 = p/q (जहाँ p और q सह अभाज्य पूर्णांक है तथा q≠0है )
2√5 = p/q – 3
√5= 1/2 (p/q – 3 )
√5 = p/2q – 3/2
चूँकि p और q एक परिमेय संख्या है
इसलिए p/2q – 3/2 परिमेय संख्या है, तथा √5 भी एक परिमेय संख्या है |
परन्तु √5 एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः 3 +2√5 एक अपरिमेय संख्या है। Proved
3 . सिद्ध कीजिए की निम्नलिखित संख्याएँ एक अपरिमेय संख्या है :
(i) 1/√2
हल :- माना की 1/√2 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 1/√2 = p/q (जहाँ p और q सह अभाज्य पूर्णांक है तथा q≠0है )
बाएँ तरफ अंश और हर को √2 से गुणा करने पर
√2/√2√2 = p/q
√2/2 = p/q
√2 = 2p/q
चूँकि p और q एक परिमेय संख्या है
इसलिए 2p/q परिमेय संख्या है, तथा √2 भी एक परिमेय संख्या है |
परन्तु √2 एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है। Proved
(ii) 7√5
हल :- माना की 7 √5 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 7√5 = p/q
√5 = p/7q
या p/7q = √5
यहाँ पर p/7q एक परिमेय संख्या है, इसलिए √5 भी परिमेय संख्या है
परन्तु √5 एक परिमेय संख्या नहीं है
अतः 7√5 एक अपरिमेय संख्या है proved
(iii) 6 + √2
हल :- माना की 6+√2 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 6 +√2 = p/q (जहाँ p और q सह अभाज्य पूर्णांक है तथा q≠0है )
√2 = p/q – 6
चूँकि p और q एक परिमेय संख्या है
इसलिए p/q – 6 परिमेय संख्या है, तथा √2 भी एक परिमेय संख्या है |
परन्तु √2 एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है। Proved
नमस्कार दोस्तों, मेरा नाम Hari Barla है, मैं इस ब्लॉग का लेखक और संस्थापक हूं और इसके माध्यम से हमलोग कक्षा 5,6,7,8,9,10,11 और 12 के सभी विषय के लिए, वस्तुनिष्ट प्रश्न , अतिरिक्त प्रश्न, महत्वपूर्ण प्रश्न एवं अभ्यास प्रश्न के उत्तर ,एनसीईआरटी समाधान, NCERT नोट्स, अध्ययन सामग्री, पिछले वर्ष के प्रश्न पत्र, mcq प्रश्नोत्तरी, एनसीईआरटी पुस्तक डाउनलोड साथ में स्कूल और उनसे जुड़े सभी बोर्ड्स से संबंधित सभी जानकारी साझा करता हूं, मेरे वेबसाइट को शेयर जरूर करें ।
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