पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3 अभ्यास प्रश्न के उत्तर
पाठ 1 वास्तविक संख्याएँ प्रश्नावली 1.3 अभ्यास प्रश्न के इस ब्लॉग पोस्ट पर उन सभी विद्यार्थियों का स्वागत है जो क्लास 9th पास कर लिए है या अभी क्लास 10th में है , इस प्रश्नावली के अंतर्गत हम उन सभी सवालो का हल भी करेंगे जो उदहारण में दिए गए है , साथ में अभ्यास प्रश्न में जो भी सवाल है सभी का उत्तर भी आपको पढ़ने को मिलेगा , तो चलिए शुरू करते है | उदहारण 9. सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है | हल :- माना की √3 एक परिमेय संख्या है
इसलिए √3=p/q (जहाँ HCF (p,q)r =1 और q≠0है )
p =√3 q
दोनों तरफ वर्ग करने पर
p2 = (√3 q)2
p2 = 3 q2 ……………(i)
या q2 = p2/3
चूँकि p2 , 3 से विभाज्य है इसलिए p भी 3 से विभाजित होगा
पुनः माना p = 3r ( जहाँ r कोई पूर्णांक है)
दोनों तरफ वर्ग करने पर
p2 = (3r)2
p2 = 9r2 ……………………….(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
p2 = p2
या 3 q2 = 9r2
या q2 = 3r2
इसलिए r2 = q2/3
यूँकि q2 3 से विभाज्य है इसलिए q भी 3 से विभाजित होगा
अतः p और q दोनों 3 से विभाज्य है अर्थात दोनों में उभयनिष्ट गुणनखंड 3 है इस लिए √3 एक परिमेय संख्या नहीं है I
अतः √3 एक अपरिमेय संख्या है Proved
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वास्तविक साख्याएँ (Real Number) महत्वपूर्ण प्रश्न
उदहारण 10 .दर्शाइए की 5 -√3 एक अपरिमेय संख्या है
हल :- माना की 5 -√3 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 5 -√3 = p/q (जहाँ p और q सह अभाज्य पूर्णांक है तथा q≠0है )
5 – p/q = √3
यहाँ पर 5 – p/q एक परिमेय संख्या है, इसलिए √3 भी परिमेय संख्या है
परन्तु √3 एक परिमेय संख्या नहीं है
अतः 5 -√3 एक अपरिमेय संख्या है proved
उदहारण 11 .दर्शाइए की 3 √2 एक अपरिमेय संख्या है
हल :- माना की 3 √2 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 3 √2 = p/q
√2 = p/3q
या p/3q = √2
यहाँ पर p/3q एक परिमेय संख्या है, इसलिए √2 भी परिमेय संख्या है
परन्तु √2 एक परिमेय संख्या नहीं है
अतः 3 √2 एक अपरिमेय संख्या है proved
1 . सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है |
हल :- माना की √5 एक परिमेय संख्या है
इसलिए √5=p/q (जहाँ HCF (p,q)r=1 और q≠0है )
p =√5 q
दोनों तरफ वर्ग करने पर
p2 = (√5q)2
p2 = 5 q2 ……………(i)
या q2 = p2/5
चूँकि p2 , 5 से विभाज्य है इसलिए p भी 5 से विभाजित होगा
पुनः माना p = 5r ( जहाँ r कोई पूर्णांक है)
दोनों तरफ वर्ग करने पर
p2 = (5r)2
p2 = 25r2 ……………………….(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
p2 = p2
या 5 q2 = 25r2
या q2 = 5r2
इसलिए r2 = q2/5
यूँकि q2 5 से विभाज्य है इसलिए q भी 5 से विभाजित होगा
अतः p और q दोनों 5 से विभाज्य है अर्थात दोनों में उभयनिष्ट गुणनखंड 3 है इस लिए √5 एक परिमेय संख्या नहीं है I
अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है Proved
1 . सिद्ध कीजिए की 3 +2√5 एक अपरिमेय संख्या है
हल :- माना की 3 +2√5 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 3 +2√5 = p/q (जहाँ p और q सह अभाज्य पूर्णांक है तथा q≠0है )
2√5 = p/q – 3
√5= 1/2 (p/q – 3 )
√5 = p/2q – 3/2
चूँकि p और q एक परिमेय संख्या है
इसलिए p/2q – 3/2 परिमेय संख्या है, तथा √5 भी एक परिमेय संख्या है |
परन्तु √5 एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः 3 +2√5 एक अपरिमेय संख्या है। Proved
3 . सिद्ध कीजिए की निम्नलिखित संख्याएँ एक अपरिमेय संख्या है :
(i) 1/√2
हल :- माना की 1/√2 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 1/√2 = p/q (जहाँ p और q सह अभाज्य पूर्णांक है तथा q≠0है )
बाएँ तरफ अंश और हर को √2 से गुणा करने पर
√2/√2√2 = p/q
√2/2 = p/q
√2 = 2p/q
चूँकि p और q एक परिमेय संख्या है
इसलिए 2p/q परिमेय संख्या है, तथा √2 भी एक परिमेय संख्या है |
परन्तु √2 एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है। Proved
(ii) 7√5
हल :- माना की 7 √5 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 7√5 = p/q
√5 = p/7q
या p/7q = √5
यहाँ पर p/7q एक परिमेय संख्या है, इसलिए √5 भी परिमेय संख्या है
परन्तु √5 एक परिमेय संख्या नहीं है
अतः 7√5 एक अपरिमेय संख्या है proved
(iii) 6 + √2
हल :- माना की 6+√2 एक परिमेय संख्या है
इसलिए 6 +√2 = p/q (जहाँ p और q सह अभाज्य पूर्णांक है तथा q≠0है )
√2 = p/q – 6
चूँकि p और q एक परिमेय संख्या है
इसलिए p/q – 6 परिमेय संख्या है, तथा √2 भी एक परिमेय संख्या है |
