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पाठ 1 वास्तविक साख्याएँ (Real Number) महत्वपूर्ण प्रश्न क्लास 10th गणित
पाठ 1 वास्तविक साख्याएँ (Real Number) के इस पोस्ट में उन बिंदुओं को बताया गया है जो पाठ प्रश्नों को हल करने में मदद मिलेगी इसलिए इनको विद्यार्थियों को जानना जरुरी है ।
वास्तविक साख्याएँ (Real Number) परिमेय (Rational numbers) एंव अपरिमेय(Irrational numbers) संख्याओं का समुह, वास्तविक संख्या कहा जाता है। इसको (R) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। उदाहरण :- परिमेय संख्याएँ (Rational numbers)
ध्यान दे :- पूर्ण, प्राकृत तथा पूर्णांक संख्याएँ ये सभी “परिमेय संख्या” (Rational number) है।
“वास्तविक संख्या” का उदाहरण (Example of real number):- 2, √4, 9, √2, √7, -5, pi(22/7), -100 आदि सभी “वास्तविक संख्याएँ” है।
परिमेय संख्या (Rational Number):- वैसी संख्याएँ जिन्हे अनुपात [अर्ताथ p /q] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है उसे “परिमेय संख्या” (Rational Number) कहा जाता है।
जैसे 🙁 2, 4/12, -2/8, -2, √9 ….)
अपरिमेय संख्या (Irrational Number):- जिन संख्याओं को अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है उसे “अपरिमेय संख्या” (Irrational Number) कहते है।
जैसे :- (√2, √3, √33, 22/7) (Pi) आदि।
प्रमेय 1.1 (यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका)– दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान है कि a = bq +r, o ≤ r < b है।
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
यह दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF ज्ञात करने की एक तकनीक है।
प्रमेय 1.2(अंकगणित की आधारभूत प्रमेय) प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणन खंडित) किया जा सकता है , तथा यह गुणनखंड अभाज्य गुणनखंड के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है।
2. किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए HCF (a, b) x LCM (a, b) = a xb होता है।
प्रमेय 1 .3. मान लिया P एक अभाज्य संख्या है। यदि P, a2 को विभाजित करती है, तो P, a को भी विभाजित करेगी, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।
प्रमेय 1.4 सिद्ध कीजिए की √2 एक अपरिमेय संख्या है
हल – माना की √2 एक परिमेय संख्या है ।
पाठ 1 वास्तविक साख्याएँ (Real Number) प्रश्न उत्तर
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वास्तविक साख्याएँ (Real Number) महत्वपूर्ण प्रश्न
प्रमेय 1.6 मान लिया x= p/q एक परिमेय संख्या ऐसी है कि q, 2n 5m के रूप का है, जहाँ n और m ऋणेत्तर पूर्णांक है। तब x का दशमलव प्रसार सांत होता है।
प्रमेय 1.7 मान लिया x= p/q एक परिमेय संख्या इस प्रकार है कि q का अभाज्य गुणनखण्ड 2n 5m के रूप का नहीं है, जहाँ n, m ऋणेत्तर पूर्णांक है। तब x का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।
महत्तम समापवर्तक(H.C.F.)-वह छोटी-से-छोटी संख्या जो प्रत्येक दी गई संख्या से पूर्णतया विभाजित हो जाए, दी गई संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य कहलाती है|
उदाहरण -(1 ) 32 और 56 (H.C.F.) निकालें
लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.)- दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह बड़ी-से-बड़ी संख्या है जो उनमें से प्रत्येक को पूरा-पूरा विभाजित करती है |
उदाहरण -(1 ) 12 और 16 (L.C.M.) निकालें
महत्तम समापवर्तक(H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का शुत्र
HCF और LCM के महत्वपूर्ण सूत्र | HCF And LCM Formula In Hindi
ल.स. = (पहली संख्या × दूसरी संख्या) ÷ HCF
ल.स × म.स. = पहली संख्या × दूसरी संख्या
पहली संख्या = (LCM × HCF) ÷ दूसरी संख्या
म.स. = (पहली संख्या × दूसरी संख्या) ÷ LCM
दूसरी संख्या = (LCM × HCF) ÷ पहली संख्या
भिन्नों का HCF एवं LCM
1. भिन्नों का HCF = अंशों का HCF/हरों का LCM
2. भिन्नों का LCM = अंशों का LCM/हरों का HCF
गणित के महत्वपूर्ण सूत्र
क्षेत्रमिति (mensuration )
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