पाठ 1 वास्तविक साख्याएँ (Real Number) महत्वपूर्ण प्रश्न क्लास 10th गणित

पाठ 1 वास्तविक साख्याएँ (Real Number)

पाठ 1 वास्तविक साख्याएँ (Real Number)

पाठ 1 वास्तविक साख्याएँ (Real Number) के इस पोस्ट में उन बिंदुओं को बताया गया है  जो पाठ  प्रश्नों को हल करने में मदद मिलेगी इसलिए इनको विद्यार्थियों को जानना जरुरी है ।

वास्तविक साख्याएँ (Real Number) परिमेय (Rational numbers) एंव अपरिमेय(Irrational numbers) संख्याओं का समुह, वास्तविक संख्या कहा जाता है। इसको (R) द्वारा  प्रदर्शित किया जाता है। उदाहरण :-  परिमेय संख्याएँ  (Rational numbers)

rational number

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational numbers)

inrational number

real number

प्रमेय 1.1   (यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका)– दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ  q और r  विद्यमान है कि a = bq +r, o ≤ r < b है।
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
यह दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF ज्ञात करने की एक तकनीक है।
प्रमेय 1.2(अंकगणित की आधारभूत प्रमेय) प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त  (गुणन खंडित) किया जा सकता है , तथा यह गुणनखंड अभाज्य गुणनखंड के आने वाले क्रम  के बिना अद्वितीय  होता है।
2. किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए HCF (a, b) x LCM (a, b) = a xb होता है।
प्रमेय 1 .3. मान लिया P एक अभाज्य संख्या है। यदि P,  a2 को विभाजित करती है, तो P,  a को भी विभाजित करेगी, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।
प्रमेय 1.4 सिद्ध कीजिए की √2 एक अपरिमेय संख्या है
हल – माना की √2 एक परिमेय संख्या है ।

इसलिए√2=p∕q    (जहाँ, HCF (p, q)=1 और q बराबर नहीं 0 है ) ।
⇒      p=√2q
दोनों ओर वर्ग करने पर,
p2=2q2…………..(i)
⇒      p2 = p2∕2
चूंकि p2 , 2 से विभाज्य है , इसलिए p भी 2 से विभाज्य होगा
पुनः माना p = 2r( जहाँ r कोई पूर्णांक है )
⇒     (p)2 = (2r)2
⇒     p2 = 4r2 ……….(ii)
समीकरण (i) और (ii) से
⇒    2q2 = 4r2
⇒    q2 = 2r2
इसलिए  r2 = q2∕2
चूँकि q2 , 2 से विभाज्य है इसलिए q भी 2 से विभाज्य होगा
अतः p और q दोनों 2 से विभाज्य है अर्थात दोनों में उभयनिष्ट गुणन खंड 2 है
यह विरोधाभास है
अतः √2 एक अपरिमेय संख्या है
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प्रमेय 1 .5  मान लीजिये x एक ऐसी परिमेय संख्या हैं , जिसका दशमलव प्रसार शांत है तब x  को p /q  के  रूप में  व्यक्त किया जा सकता है , जहाँ p और  q सहअभाज्य है , तथा q  का अभाज्य गुणन खंड 2n  5 के रूप में है , जहाँ  n , m कोई ऋणेतर पूर्णांक है

प्रमेय 1.6  मान लिया  x= p/q एक परिमेय संख्या ऐसी है कि q, 2n  5 के रूप का है, जहाँ n और m ऋणेत्तर पूर्णांक है। तब x का दशमलव प्रसार सांत होता है।
प्रमेय 1.7  मान लिया   x= p/q एक परिमेय संख्या इस प्रकार है कि q का अभाज्य गुणनखण्ड 2n  5 के रूप का नहीं है, जहाँ n, m ऋणेत्तर पूर्णांक है। तब x का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

महत्तम समापवर्तक(H.C.F.)-वह छोटी-से-छोटी संख्या जो प्रत्येक दी गई संख्या से पूर्णतया विभाजित हो जाए, दी गई संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य कहलाती है|

उदाहरण -(1 ) 32  और 56  (H.C.F.) निकालें 

भाग विधि द्वारा

लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.)- दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह बड़ी-से-बड़ी संख्या है जो उनमें से प्रत्येक को पूरा-पूरा विभाजित करती है |

उदाहरण -(1 ) 12 और 16 (L.C.M.) निकालें 

गुणनखंड द्वारा

महत्तम समापवर्तक(H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का शुत्र 

महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य (Maximum common factor and minimum common factor )
महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य (Maximum common factor and minimum common factor )

गणित के महत्वपूर्ण सूत्र 

क्षेत्रमिति (mensuration )

 


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