क्षेत्रमिति(MENSURATION), आयतन(VOLUME)क्षेत्रफल और आयतन क्या होता है?

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क्षेत्रमिति आयतन NCERT SOLUTION में आप जानकारी प्राप्त कर सकते है की क्लास पांचवीं से क्लास दसवीं तक के विद्यार्थियों के लिए आयतन से सबंधित जितने भी फार्मूला है , उनका इस ब्लॉग पोस्ट पर पूरी विस्तार से जानकारी दी गई है , इस लिए सभी विद्यार्थियों से आग्रह है की आप पूरी ब्लॉग जरूर अध्ययन करे ,ताकि आपको आयतन से सबंधित जितने भी फार्मूला है , उन्हें आप आसानी से याद कर पाएंगे और आपका परीक्षा में अच्छा मार्क्स भी आएंगे

घन (CUBE), का आयतन (VOLUME)

cube

 

घन वर्गाकार होता है। =h =h = घन । प्रत्येक फलक एक वर्ग होता है। पृष्ठ तलों
की सख्या = 6, कुल किनारा = 12. फलकों की संख्या = 6, धन में शीषों की सं० =8

क्षेत्रमिति आयतन NCERT SOLUTION में घनाभ (CUBOID)का आयतन (VOLUME) के बारे जानकारी

घनाभ के फलक का आकार = आयताकार घनाभ में 6 सतह या फलक होते हैं। घनाभ में 12 किनारे होते हैं। घनाभ में 8 शीर्ष होते हैं।

घनाभ के 6 सतहों में कोई दो सम्मुख सतह वर्गाकार भी होता है.
हर सतह आयताकार होता है.
एक घनाभ की आकृति में पिंड, इंत, पुस्तक, चबूतरा आदि जैसा होता है.
इसमें विकर्ण की संख्या 4 होती है.
सतहों की संख्या = 6
शीर्षों की संख्या = 8
किनारों की संख्या = 12
शीर्ष कोणों की संख्या = 3 × 8 = 24
1. घनाभ का आयतन =ल० x चौ० xॐ

घनाभ (CUBOID)का आयतन

घनाभ का विकर्ण = √ ( l2 + b2 + h2 )

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ट-क्षेत्रफल = 2 ( lb + bh + lh )

घनाभ का पार्श्व पृष्ठ-क्षेत्रफल = 2h ( l + b )

10. यदि संदूक ढक्कनदार हो, तो-
(i) भीतरी लंबाई = बाहरी लंबाई -2x मोटाई
(ii) भीतरी चौड़ाई = बाहरी चौड़ाई -2x मोटाई
(iii) भीतरी ऊँचाई = बाहरी ऊँचाई-2x मोटाई

11. बदि संदूक बिना ढक्कन का हो, तो-

(i) भीतरी लंबाई = बाहरी लंवाई-2x मोटाई
(ii) भीतरी चौड़ाई = बाहरी-2x मोटाई
(iii) भीतरी ऊँचाई = बाहरीऊंचाई – मोटाई

12 यदि संदूक ढक्कनदार हो, तो-

(i) बाहरी लंबाई = भीतरी लंबाई +2 x मोटाई
(ii) बाहरी चौड़ाई = भीतरी चौड़ाई +2 x मोटाई
(iii) बाहरी ऊँचाई = भीतरी ऊँचाई +2 x मोटाई

13. यदि संदूक बिना ढ़क्कन का हो, तो-

(i) बाहरी लंबाई = भीतरी लंबाई +2 x मोटाई
(ii) बाहरी चौड़ाई = भीतरी चौड़ाई +2 x मोटाई
(iii) बाहरी ऊँचाई = भीतरी ऊँचाई + मोटाई

14. बंद संदूक की लकड़ी या धातु का आयतन = बाहरी आयतन – भीतरी आयतन
15. घनाभ या धन की प्रत्येक भुजा (किनारा) को k गुणित कर दिया जाए, तो
(i) पृष्ठ क्षेत्रफल k2    गुणित हो जाता है। (ii) आयतन k3   गुणित हो जाता है।

क्षेत्रमिति आयतन NCERT SOLUTION बेलन (CYLINDER) का आयतन (VOLUME)

आयतन = πr2h 
 
वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल  =2πrh
 
संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल =2πr (r+l)

(1 ) बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई 

(2) आयतन = πr2h

(3)  बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (Curved surface Area) = आधार का परिमाप × ऊँचाई

(4) वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल (Curved surface Area) =2πrh

5) बेलन का संपूर्ण सतह का क्षेत्रफल (Total surface Area)

 

वक्र सतह को वक्र कहते हैं। सम्पूर्ण सतह को पूर्ण पृष्ठ कहते हैं। ऊपर और नीचे दो बराबर वृताकार सतहें हैं।बीच का घेरा एक वक्र सतह है।बेलन में कुल तीन सतहें होती है।

1. वेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल =2πrh
2. वेलन का आयतन = πr2h
3. वेलन के सम्पूर्ण पृष्ठों का क्षेत्रफल = 2πr(r+h)
4. दोनों सतहों का क्षेत्रफल = 2πr2
5. लंब वृतीय बेलन की त्रिज्या m गुणित होने पर-

(i) वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल m गुणित हो जाएगा,

(ii) आयतन m2 गुणित हो जाएगा।

6. लंब वृतीय बेलन की ऊँचाई n गुणित होने पर वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल औरआयतन दोनों ही n गुणित हो जाएगा।

7. लंब वृतीय बेलन की त्रिज्या m गुणित एवं ऊँचाई । गुणित होने पर (i) वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल mn गुणित हो जाएगा।

(ii) आयतन m2n गुणित हो जाएगा।

शंकु (CONE) का आयतन (VOLUME)

1. शंकु का वक्र पृष्ठ क्षे० = πrl
2, शंकु के पृष्ठों का क्षेत्रफल = πr( r+l )

शंकु (CONE) का आयतन

5.लंब वृतीय शंकु की त्रिज्या m गुणित होने पर आयतन m2 गुणित हो जाता है।

6. लंब वृतीय शंकु की ऊँचाई n गुणित होने पर आयतन n गुणित हो जाता है।

7. लंब वृतीय शंकु की त्रिज्या m गुणित एवं ऊँचाई n गुणित होने पर आयतन m2n गुणितहो जाता है

गोला (SPHERE) का आयतन (VOLUME)

गोला (SPHERE) का आयतन (VOLUME)

8 . गोले की त्रिज्या k गुणित होने पर
(i) पृष्ठ क्षेत्रफल k 2 गुना हो जाता है। (ii) आयतन k 3 गुना हो जाता है।

अर्द्धगोला (SEMISPHERE)का आयतन (VOLUME)

1. अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठ =2πr 
2. अर्द्धगोले का संपूर्ण पृष्ठ= अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठ + अर्ध गोले की तल का पृष्ठ
=2πr +πr =3 πr 
3. अर्द्धगोले का आयतन =2 /3 πr

प्रिज्म (PRISM) का आयतन (VOLUME)

1. लंब प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्र = आधार का परिमाप x ऊँचाई
2 लंब प्रिज्म का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र = 2 (एक सिरे का क्षेत्रफल + पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल)
3. लंब प्रिज्म का आयतन = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई

आयत का फार्मूला

  • आयत का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
  • आयत का क्षेत्रफल = लंबाई ×चौड़ाई
  • आयत का विकर्ण =√(लंबाई² + चौड़ाई²)

पिरामिड (PIRAMID) का आयतन (VOLUME)

1. लंब पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्र = 1 /2 (आधार का परिमाप) x तिरछी ऊँचाई
2 लंब। रामिड का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र = आधार का क्षेत्रफल + पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
3. लंब पिरामिड का आयतन %Dx (आधार का क्षेत्रफल) x ऊँचाई

वर्ग का फार्मूला

  • वर्ग की परिमाप = 4 × a
  • वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा × भुजा) = a²
  • एवं भुजा = √ क्षेत्रफल
  • वर्ग का क्षेत्रफल = ½ × (विकर्णो का गुणनफल) = ½ × d2
  • वर्ग का विकर्ण = एक भुजा × √2 = a × √2
  • वर्ग का विकर्ण = √2 × वर्ग का क्षेत्रफल

क्षेत्रमिति आयतन NCERT SOLUTION में हमने पढाई की –

समलम्ब चतुर्भुज का सूत्र

  • समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल
    = ½ (समान्तर भुजाओं का योग x ऊंचाई)
    = ½ (समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल)
    = ½ (आधार x संगत ऊंचाई)
  • परिमाप, P = a + b+ c + d

सम चतुर्भुज का फार्मूला

  • ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
  • विषमकोण चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × दोनों विकर्णो का गुणनफल
  • अर्थात, A = (d1 × d2)/2 वर्ग इकाई
  • समचतुर्भुज की परिमाप = 4 × एक भुजा
  • समचतुर्भुज में => (AC)² + (BD)² = 4a²


गणित के महत्वपूर्ण सूत्र 

क्षेत्रमिति (mensuration )


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