महत्तम समापवर्तक लघुत्तम समापवर्त्य के महत्वपूर्ण सूत्र । Ncert Solution

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महत्तम समापवर्तक लघुत्तम समापवर्त्य के महत्वपूर्ण सूत्र ( hcf lcm mahatvpurn formula)

महत्तम समापवर्तक (H.C.F.)

दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह बड़ी से बड़ी संख्या है जो प्रत्येक दी गई संख्या को पूर्णतया विभाजित करती है

किसी बहुपद को उनके किसी ने गुणनखंड से भाग दिया जाए तो वह पूरा-पूरा विभाजित हो जाता है, सार्व गुणनखंड को समापवर्तक कहा जाता है,

LCM और HCF के सूत्र

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
भिन्नों महत्तम समावतर्क (H.C.F.) = अंशों का महत्तम समावतर्क / हर का लघुत्तम समावतर्क
L.C.M × H.C.F = प्रथम संख्या × द्धितीय संख्या
LCM = अंशों का लघुत्तम समावतर्क / हर का महत्तम समावतर्क
HCF = अंशों का महत्तम समावतर्क / हर का लघुत्तम समावतर्क

महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य (Maximum common factor and minimum common factor )

अतः दो या दो से अधिक बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (म० स०) वह सार्व गुणनखंड या सार्वभाजक होता है जिसमें चर का सभी सार्व गुणनखंडों में अधिकतम घात हो और जिसकी अधिकतम घात वाले पद का गुणांक धनात्मक हो,
महत्तम समापवर्तक निकालने की विधि महत्तम समापवर्तक निकालने की निम्नलिखित दो विधियां हैं:-

भाग विधि द्वारा
गुणनखंड द्वारा

भाग विधि द्वारा

उदहारण :- 32 तथा 56 का H.C.F . ज्ञात करें

गुणनखंड द्वारा

उदहारण :- 32 तथा 56 का H.C.F . ज्ञात करें

32 के गुणनखंड – 1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32

56 के गुणनखंड – 1 ,2 ,4, 7 ,8, 14 ,28 ,56

32 तथा 56 के उभयनिष्ठ गुणनखंड है – 1 ,2 ,4 ,8 तथा इनमे सबसे बड़ा 8 है

अतः 32 तथा 56 का म ० स ० =8

लघुत्तम समापवर्त्य ( L.C.M. )

वह छोटी से छोटी संख्या जो प्रत्येक दी गई संख्या द्वारा पूर्णत विभाजित हो जाए दी गई संख्याओं का ल० स० कहलाती है

लघुत्तम समापवर्त्य यदि कोई बहूपद दो या दो से अधिक बहुपदों से पूर्णतः विभाजित हो जाता है, तो पहला बहुपद इन बहुपदों का समापवर्त्य कहलाता है, दो या दो से अधिक बहुपदों की कई समापवर्त्य हो सकते हैं,

दो या दो अधिक बहुपदों का लघुत्तम समापवर्तक ल० स ० निम्नतम घात वाला वह बहुपद होता है जो उन सभी बहुपदों से पूरा पूरा विभाजित होता है,बहुपदों का लघुत्तम समापवर्तक निकालना बहुपदों का लघुत्तम समापवर्तक निकालने की निम्नलिखित दो विधियां:-

भाग विधि द्वारा
गुणनखंड द्वारा

भाग विधि द्वारा

उदाहरण :- 12 तथा 16 L.C.M. ज्ञात करें

गुणनखंड द्वारा

उदहारण :- 12 तथा 16 L.C.M. ज्ञात करें

LCM और HCF कैसे निकालें – LCM And HCF In Hindi

Q.1 24, 32, 40, गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समावतर्क एवं महत्तम समावतर्क निकालिए?
A. 120, 2
B. 280, 4
C. 360, 6
D. 480, 8

हल:- प्रश्नानुसार,
24 = 2 × 2 × 2 × 3
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
40 = 2 × 2 × 2 × 5
LCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5
LCM = 480
HCF = 2 × 2 × 2
HCF = 8

Ans. 480, 8

Q.2 18, 42, 102 का महत्तम समापवर्तक निकालिए?
A. 12
B. 2
C. 6
D. 8

हल:- प्रश्नानुसार,
18 = 2 × 3 × 3
42 = 2 × 3 × 7
102 = 2 × 3 × 17
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 2 × 3
= 6

Ans. HCF = 6

Q.3 60, 45, 180, 24, का HCF निकालिये?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8

हल:- प्रश्नानुसार,
60 = 2 × 2 × 3 × 5
45 = 3 × 3 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 3 हैं।
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 3

Ans. 3

Q.4 923, 949 का HCF निकालिए?
A. 12
B. 13
C. 16
D. 18

हल:- प्रश्नानुसार,
923 = 13 × 71
949 = 13 × 73
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 13 हैं।
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = 13

Ans. 13

Q.5 216, 288 और 720 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 120
B. 280
C. 360
D. 480

hcf lcm mahatvpurn formula

हल:- प्रश्नानुसार,
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
288 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = (2 × 2 × 2 × 3 × 3)
= 72

Ans. 72

Q.6 9/10, 12/25, 18/35, 21/40 का महत्तम समापवर्तक निकालिए?
A. 12/700
B. 28/3200
C. 6/1400
D. 48/4800

हल:- HCF =  9, 12, 18, 21
= 2 × 3
= 6
LCM = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
LCM = 1400
HCF = अंश का महत्तम समावतर्क / हर का लघुत्तम समावतर्क
HCF = 6/1400

Ans. 6/1400

Q.7 3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए?
A. 24
B. 3
C. 3/56
D. 8

हल:- प्रश्नानुसार,
3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक
= (3, 6, और 8 का ल. स.)/(4, 6, और 7 का म. स.)
= 24/1
24

Ans. 24

Q.8 5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक हैं?
A. 120
B. 280
C. 360
D. 480

हल:- प्रश्नानुसार,
5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक
अभीष्ट ल. स. = (5, 7, 8 का ल. स.)/(7,8,9 का म.स.)
280

Ans. 280

Q.9 छोटे से छोटा वह भिन्न जो 6/7, 5/14, 10/21 से पुर्णतः विभक्त हो जाए हैं?
A. 30/98
B. 60/90
C. 30/7
D. 60/147

हल:- प्रश्नानुसार,
अभीष्ट ल. स. = (6,5,10 का ल. स.)/(7,14,21 का म.स.)
30/7

Ans. 30/7

Q.10 0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144 का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं?
A. 1.44
B. 7.2
C. 12.96
D. 18.32

हल:- प्रश्नानुसार,
0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144
दशमलव के बाद अधिकतम तीन अंक हैं।
इसलिए सभी संख्याओं को 1000 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या
= 900, 180, 3600, 7200 तथा 144
इन संख्याओं का ल. स. = 7200
अभीष्ट ल. स. = 7200/100
लघुत्तम समापवर्तक = 7.2

Ans. 7.2

Q.11 x² + xy + y² और x³ – y³ का L.C. M. होगा?
A. x – y
B. x² – y²
C. x³ – y³
D. x² + xy + y²

हल:- प्रश्नानुसार,
x² + xy + y² = 
x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
अभीष्ट L.C.M. = (x – y) (x² + xy + y² )

Ans. x³ – y³

Q.12 x² – 9 और x² – 6x + 9 का महत्तम समापवर्तक हैं?
A. x – 3
B. x + 3
C. x + 2
D. x – 2

हल:- प्रश्नानुसार,
x² – 9 = (x – 3)(x – 3)
x² – 6x + 9 = x² – 3x – 3x + 9
x(x – 3) – 3(x- 3)
(x – 3)(x – 3)
अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = (x – 3)

Ans. (x – 3)

Q.13 7/9, 14/15, 7/10 का लघुत्तम समावतर्क एवं महत्तम समावतर्क निकालिए?
A. 120, 8
B. 28, 12
C. 90, 7
D. 18, 3

हल:- प्रश्नानुसार,
अभीष्ट ल. स. = (7,14,7 का ल. स.)/(9,15,10 का म.स.)
90/7

Ans. LCM = 90, HCF = 7

Q.14 368/437 का सरलतम रूप क्या है?
A. 12/17
B. 16/19
C. 9/14
D. 18/23

हल:- प्रश्नानुसार,
HCF = 23
368 / 23 = 16
437 / 23 = 19
सरलतम रूप 16/19 होगा।


गणित के महत्वपूर्ण सूत्र 

क्षेत्रमिति (mensuration )