क्लास 10 गणित फार्मूला सभी पाठ

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क्लास 10 गणित फार्मूला सभी पाठ

गणित फार्मूला क्लास 10 के इस ब्लॉग में क्लास 10 th के सभी महत्वपूर्ण शुत्र या फार्मूला को पाठ वाइज आप सभी विद्यार्थियों को पढ़ाने को मिलेगा आशा है, पढ़ने के बाद पुस्तक के सभी सवालों को हल करने में आसान होगा, तो चलिए बिना देर किये पढ़ाई शुरू करते है ,

वास्तविक संख्याएँ


1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका- दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान है कि

a = bq +r, 0 r<b है।

भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
यह दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF ज्ञात करने की एक तकनीक है।

2. किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए HCF (a, b) x LCM (a, b) = a x b होता है।

3 . मान लिया P एक अभाज्य संख्या है। यदि P, a² को विभाजित करती है, तो P, a को भी विभाजित करेगी, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।

4. मान लिया x = q  एक परिमेय संख्या ऐसी है कि q, 2n 5m के रूप का है, जहाँ n और m ऋणेत्तर पूर्णाक है। तब x का दशमलव प्रसार सांत होता है।

5. मान लिया x =p/q एक परिमेय संख्या इस प्रकार है कि q का अभाज्य गुणनखण्ड 2n 5m के रूप का नहीं है, जहाँ n, m ऋणेत्तर पूर्णांक है। तब x का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

गणित फार्मूला क्लास 10 बहुपद

1.एक बहुपद p (x) के शून्यक उन बिन्दुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ y = p (x) का ग्राफ x अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

2. यदि द्विघात बहुपद ar2 + bx + c के शून्यक a और B हो, तो

α+β=-b∕a , αβ=c∕a

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म


1. दो चरों x और y में रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप

a1x+b1y+c1=0

a2x+b2y+c2=0

(जहाँ a1, b1,a2,b2 शून्य नहीं है।)

2.रैखिक समीकरणों के हल होने की शर्त-

अनुपातों की तुलना गणितीय निरूपण स्थिति ग्राफीय निरूपण
(i) यदि a1 ∕ a2 ≠ b1 ∕ b2 अद्वितीय हल
केवल एक हल
संगत प्रतिच्छेद करती हुई
रेखाएँ
(ii) यदि a1 ∕ a2 = b1 ∕ b2=c1 ∕ c अपरिमित रूप
से अनेक हल
संगत
(आश्रित)
समांतर रेखाएँ
(iii) यदि a1 ∕ a2 = b1 ∕ b2 c1 ∕ c कोई हल नहीं असंगत संपाती रेखाएँ
पाठ-3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

3.समीकरणों को हल करने की विधि-
(i) ग्राफीय विधि द्वारा,
(ii) बीज गणितीय विधि-
(a) प्रतिस्थापन विधि,
(b) विलोपन विधि,
(c) वज-गुणन विधि।

गणित फार्मूला क्लास 10 द्विघात समीकरण

1. द्विघात समीकरण का मूल रूप ax2+bx+c=0   होता है। जहाँ a =x2 का गुणांक, b = x का गुणांक, c = अचर पद ।

2. विविक्तकर (D) = b2-4ac

3. द्विघात समीकरण के मूल x=-b±√b2-4ac ∕ 2a

4. मूलों की प्रकृति-
(i) D = 0 तो मूल वास्तविक एवं समान होते हैं।
(ii) D> 0 तो मूल वास्तविक एवं असमान होते हैं।
(iii) D<0 तो मूल वास्तविक नहीं होगा।

गणित फार्मूला क्लास 10 समांतर श्रेढ़ियाँ

1. समांतर श्रेढ़ी (A. P.) का व्यापक रूप

प्रथम पद (a1) =a,

दूसरा पद (a2) =a +d,

तीसरा पद (a3)=a+2d,

चौथा पद (a4) =a + 3d,

पांचवां पद (a5)=a + 4 d,

छठा पद (a6) =a + 5d,

सातवाँ पद (a7)=a + 6d,

आठवाँ पद (a8)=a + 7d,

नौवा पद (a9) =a + 8d,

दसवां पद (a10)=a + 9d,

ग्यारवाँ पद (a11)=a + 10d ………इसी तरह और भी

n वां पद =a +(n -1 )d …………….

an =a +(n -1 )d………………(2)

l =a +(n -1 )d………………(3)

जहाँ a = पहला पद, d = सार्व अंतर
d=a2-a1

2. A.P. का nवाँ पद =a +(n -1 )d

A.P. के प्रथम । पदों का योग sn=n ∕ 2[a+(n-1)d]

यदि एक परिमित A.P. का अंतिम पद । है, तो इस AP के सभी पदों का योग=sn=n ∕ 2(a+l)

गणित फार्मूला क्लास 10 त्रिभुज

1 भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगात कोण बराबर हो, (i) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हो।

ΔABC में, यदि DE ∥ BC है, तो AD/DB= AE/EC

2. (i) ΔABC में, यदि AD/DB= AE/EC तो DE || BC होता है।

त्रिभुज की भुजाओं को A, B, और C के नामों से प्रदर्शित किया जाता हैं। तथा कोणों को ∠A, ∠B, और ∠C द्वारा प्रदर्शित किया जाता हैं।

3. त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ-

(i) AAA अर्थात् दोनों त्रिभुज समानकाणिक होते हैं।

(ii) Sss अर्थात् दोनों त्रिभुज की भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

(ii) SAS अर्थात् दोनों त्रिभुज में दो भुजाएँ समानुपाती हों और उनके बीच का कोण बराबर हो।

(iv) AA अर्थात् दोनों त्रिभुज के दो कोण बराबर हों।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

समबाहु त्रिभुज के सूत्र

  • समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × भुजा²
  • समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा
  • शीर्ष बिंदु से डाले गए लम्ब की लम्बाई = √3/4 × भुजा
  • समबाहु त्रिभुज के अर्धवृत की त्रिज्या R = a/2 × √3
  • परिवृत की त्रिज्या R = a/√3

समद्विबाहु त्रिभुज के सूत्र

  • समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × आधार × ऊँचाई
    क्षेत्रफल A = ½ × b × h
  • दूसरा क्षेत्रफल A = a/4 √(4b² – a²)
  • तीसरा क्षेत्रफल A = ½ × side2 × sinθ
  • समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप P = 2a + b

विषमबाहु त्रिभुज के सूत्र

  • विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × b × h
  • A = ½ × आधार × ऊँचाई
  • क्षेत्रफल A = ½ × a × b × sinθ
  • त्रिभुज का अर्धपरिधि P = ½ ( a + b + c )
  • क्षेत्रफल A = √s(s – a)(s – b)(s – c)

न्यूनकोण त्रिभुज के सूत्र

  • न्यूनकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × b × h
  • न्यूनकोण त्रिभुज का परिमाप = a + b + c
  • क्षेत्रफल A = √s(s – a)(s – b)(s – c)
  • A = ½ × a × b × sinθ
  • न्यूनकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × b × h

समकोण त्रिभुज के सूत्र

कर्ण की लम्बाई का वर्ग = लम्ब की लम्बाई का वर्ग + आधार की लम्बाई का वर्ग

AC² = AB² + BC²

  • (कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
  • समकोण त्रिभुज का कर्ण = √लम्ब² +आधार²
  • समकोण त्रिभुज का लम्ब = √कर्ण² – आधार²
  • समकोण त्रिभुज का आधार = √कर्ण² – लम्ब²
  • समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A = ½ × आधार × ऊँचाई
  • क्षेत्रफल = A = ½ × b × h
  • कर्ण C = √a² + b²
  • परिमाप = a + b + c
  • ऊँचाई = (a × b)/c

अधिककोण त्रिभुज के सूत्र

  • क्षेत्रफल A = ½ × b × h
  • परिमाप = a + b + c
  • अर्धपरिधि P = ½ ( a + b + c )
  • क्षेत्रफल A = √s(s – a)(s – b)(s – c)

गणित फार्मूला क्लास 10 निर्देशांक ज्यामिति

1. दूरी सूत्र-

दूरी सूत्र (The Distance Formula)

आइए हम चतुर्थांश I में स्थित दो बिंदु A(x1,y1) और B(x2,y2) मानते है और हमें दूरी AB ज्ञात करनी है।

कार्तीय समतल में दो बिन्दुओं के बीच की दूरी और दूरी सूत्र (THE DISTANCE FORMULA)

हम क्रमशः बिंदु A और B से x- अक्ष पर लंब AE और BD खींचते हैं और बिंदु A से BD पर लंब AC खींचते हैं।

यहां,  ED = (x2 – x1) इकाई

चूंकि ED = AC, इसलिए AC = (x2 – x1) इकाई    और    BD = y2 इकाई

AE = CD = y1 इकाई  और BC = BD – CD =  (y2 – y1) इकाई

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा △ABC में,

AB2 = AC2 + BC2

AB= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

AB = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

इस सम्बन्ध को दूरी सूत्र (The Distance Formula) कहा जाता है। चूँकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है इसलिए हम वर्गमूल का केवल धनात्मक मान लेंगे।

(i) दो बिन्दुओं p(x1  y1) और q(x2  y2) के बीच की दूरी

2) दूरी सूत्र (The Distance Formula) इस रूप में भी लिखा जा सकता है

               AB = √(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2

विभाजन सूत्र-

दूरी सूत्र (The Distance Formula)
(i) दो बिन्दुओं p(x1  y1)और q(x2  y2) को जोड़ने वाले रेखाखंड pq को m1 : m2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिन्दु p(x y) के निर्देशांक

(ii) बिन्दुओं P(x1  y1)और Q(x2  y2) को जोड़ने वाले रेखाखंड PQ के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

3. त्रिभुज का क्षेत्रफल-

PQR का क्षेत्रफल = ½ [ X1(y2 -y3) + X2 (y3-y1)+X3(y1-y2)]

त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिकोणमिति का परिचय

त्रिकोणमितीय अनुपात-

त्रिकोणमिति का परिचय

(iii) कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात-

त्रिकोणमितीय अनुपात

  • sin (90° – A) = COS A,
  • cos (90° – A) = sin A;
  • tan (90° -A) = cotA,
  • cot (90° -A) = tanA;
  • Sec (90° – A) = COSEC A,
  • COSEC (90° – A) = sec A.

(v) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ-

  • sin A. cosec A = 1,
  • sin A =1 / cosecA
  • cosec A= 1 / sin A
  • cosA. secA= 1
  • secA= 1 / cos A
  • COSA= 1 / secA
  • tan A. cotA= 1,
  • tan A= 1 / cotA
  • cotA= 1 / tan A
  • cos2A+sin2A=1
  • cos2A= 1-sin2A
  • sin2A= 1-cos2A
  • sec2A-tan2A=1
  • sec2A=1+tan2A
  • tan2A=sec2A-1
  • cosec2A-cot2A=1
  • cosec2A=1+cot2A
  • cot2A=cosec2A-1

गणित फार्मूला क्लास 10 क्षेत्रमिति

(i) त्रिज्यखंड और वृत्तखंड का क्षेत्रफल

वृतीय त्रिज्यखंड का परिमाप = θ / 360 × 2πr

त्रिज्यखंड की चाप की लम्बाई = θ / 360 × 2πr

लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = θ / 360 × πr2

दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr2 – θ / 360 × πr2

(ii) पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

वृतखंड का परिमाप = ( चाप की लम्बाई + जीवा की लम्बाई )

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = θ / 360 × πr2 – 1/2 sin2 θ

वृतखंड की चाप की लम्बाई = θ / 360 × 2πr

दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = πr2 – θ / 360 × πr2 + 1/2 sin2 θ

वृताकार वलय का क्षेत्रफल =  π (R2 – r2)

घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a2
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2
घन का आयतन =a3
घन का विकर्ण = a√3 जहाँ a = घन की भुजा

शंकु का छिन्नक

ऊंचाई = h
ऊपर की त्रिज्या = r
आधार की त्रिज्या = R
तिर्यक ऊंचाई = l

शंकु का छिन्नक के सूत्र

1. शंकु के छिन्नक का आयतन = ⅓ (πh) (R² + r² + Rr)

जहाँ,

ऊंचाई = h
ऊपर की त्रिज्या = R
आधार की त्रिज्या = r
शंकु का आयतन = ¹⁄₃ πr²h

2. छिन्नक का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = πL(R + r)

जहाँ, l = √(h² + (R – r)²]

3. तिर्यक भाग का क्षेत्रफल = π (R + r)³, l² = h² + (R – r)²

शंकु के छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + दोनों वृत्त के आधार का क्षेत्रफल

= πL(R + r) + πR² + πr²

4. छिन्नक के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = π[R² + r² + l(R + r)]

गणित फार्मूला क्लास 10 सांख्यिकी

गणित फार्मूला क्लास 10 सांख्यिकी

 


गणित के महत्वपूर्ण सूत्र 

क्षेत्रमिति (mensuration )

 

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