बहुपद से सबंधित महत्वपूर्ण सवाल और उनके उत्तर 

बहुपद से सबंधित महत्वपूर्ण सवाल से सबंधित  इस ब्लॉग पोस्ट पर आप सभी विद्यार्थियों का स्वागत है ,आज हम बहुपद से सबंधित सभी तरह के जानकारी के बारे में ज्ञान प्राप्त करेंगे साथ में पाठ से जुड़ी हर टॉपिक के बारे में भी चर्चा होगी ,क्लास 10th में पढ़ रहे विद्यार्थियों को इसके बारे जानना बहुत जरुरी है , क्योंकि क्लास 10th में बहुपद पाठ -2 में है , अतः उन्हें जानना बहुत जरुरी है , तो चलिए इसके बारे में विस्तार से जानकारी प्राप्त करते है –

1. बहुपद किसे कहते है ?
2. चर क्या है ?
3. अचर क्या है ?
4. बहुपद के कितने प्रकार है ?
5. परवलय किसे कहते है 
6. बहुपद का शून्यक
7. किसी बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों में सबंध –
8. बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म –

बहुपद (POLYNOMIAL) किसे कहते है ?

वे  बीजीय व्यंजक जिसमे चर का घात धनात्मक पूर्णांक या पूर्ण संख्या हो तो वह बहुपद कहलाता है l

जैसे -जैसे –  (a) 4x + 4 

(b) 2y – 3y +4 (c) 5x – 4x + x- √2  

बीजीय व्यंजक – वे व्यंजक जो अक्षर, संख्याओं और मूल संक्रियाओं ( योग, घटाना, गुणा और भाग) के प्रयोग से बनते हैं, बीजीय व्यंजक कहलाते हैं। जैसे -3xy, 2. xyz, 5x, इत्यादि बीजीय व्यंजक बहुपद के उदाहरण है l  

बहुपद की घात – किसी बहुपद में शेयर क्यों उस तमघात चर की उच्चतम घात को ही बहुपद की घात कहा जाता है।   संख्या किसे कहते है ?   अंकों के समूह को संख्या कहते है या  दो या  दो से अधिक अंकों के समूह को संख्या कहते है संख्या कितने प्रकार की होती है?   संख्याएं दो तरह की होती है एक चर संख्या और दूसरा अचर संख्या  

चर  किसे कहते है ?   वैसी संख्याएँ , जिनका मान स्थिर नहीं रहता है  वह बदलते रहता है , इसे सांकेतिक संख्या भी कहते है जैसे – a, b, x, y, z आदि  l  

अचर  किसे कहा जाता है ?   वैसे संख्या जिनका मन कभी बदला नहीं जा सकता है जैसे -1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 आदि l

बहुपद से सबंधित महत्वपूर्ण सवाल Ncert Solutions

बहुपद के कितने प्रकार है- बहुपद के निम्न प्रकार  होती है-

रैखिक बहुपद (Linear polynomial) घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है जैसे -2x – 3, 3x + 5, y+ 2 , x -2, 3: +4, +1, इत्यादि सभी रैखिक बहुपद हैं। जबकि 2x + 5 – x, x + 1, आदि प्रकार के बहुपद रैखिक बहुपद नहीं हैं। घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) कहते हैं। द्विघात (quadratic) शब्द क्वाड्रेट (quadrate) शब्द से बना है, जिसका अर्थ है ‘वर्ग’।

द्विघात बहुपद (Quadratic polynomial) घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद कहते है जैसे –  

ये सभी  द्विघात बहुपद के उदहारण है l
त्रिघात बहुपद (cubic polynomial) घात  3 का बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाता है , त्रिघात बहुपद के कुछ उदहारण नीचे दिए गए है –

ये सभी  त्रिघात बहुपद (cubic polynomial) बहुपद के उदहारण है l   

अचर पद बहुपद -अचर पद बहुपद वह बहुपद जिनमें चर की घात 0 हो तो ऐसे बहुपद को को अचर पद बहुपद कहते हैं जैसे -3x⁰ ,  7y⁰ , 3z⁰  

शून्य बहुपद-  ऐसे बहुपद जिनके सभी गुणांक 0 हो शून्य बहुपद कहलाते हैं जैसे- 0x³ +0x² -0x+0   ,  0y²-0 ,   0z²+0z , 0t⁴ ,  आदि ।  

परवलय किसे कहते है   किसी भी द्विघात बहुपद ax² +bx+c ≠0 के लिए संगत समीकरण y=ax²+bx+c  के ग्राफ का आकार यह तो ऊपर की ओर खुला ∪ की तरह अथवा नीचे की ओर खुला ∩ की तरह का होगा जो इस पर निर्भर करेगा कि a>0 है या a<0 है इन इन वक्रों को परवलय  कहते हैं।

बहुपद से सबंधित प्रश्न के उत्तर

विभिन्न बहु पदों का शून्यक निकालने की विधि-

रैखिक बहुपद – रैखिक बहुपद का शून्यक निकालने के लिए बहुपद के बराबर में 0 रखने पर उनका सोनिया प्राप्त हो जाता है जैसे-

p(x) = 2x + 6

⇒ 2x + 6 = 0

⇒       2x  = – 6

⇒         x  = -6/2

⇒         x  = – 3 

अतः शून्यक -3

द्विघात बहुपद – द्विघात बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए गुणनखंड विधि का प्रयोग किया जाता है, गुणनखंड करने पर दो रैखिक बहुपद प्राप्त होता है, फिर उनका शून्यक निकलने के लिए बहुपद के बराबर 0 करना पड़ता है ,उदाहरण-

p(x) = x² -2x -6 

⇒ x² -2x -6 =0

⇒  x(x -2) +3(x -2) =0     

⇒ (x+3 ) (x-2)     

अब x+3 =0

          x = -3   

फिर x-2 = 0

          x = 2     

अतः शून्यक -3 ,2 

त्रिघात बहुपद – त्रिघात बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए गुणनखंड विधि का प्रयोग किया जाता है, गुणनखंड करने पर तीन रैखिक बहुपद प्राप्त होता है, फिर उनका शून्यक निकलने के लिए बहुपद के बराबर 0 करना पड़ता है ,उदाहरण-

p(x) = x³ -3x² -x +3 

⇒ x³ -3x² -x +3  =0

⇒  x²(x -3) -1(x -3) =0     

⇒ (x²-1 ) (x-3)     

अब x²-1 =(x-1) (x+1)

            x-1 =0

                x = 1

 x+1=0

     x = -1

फिर x-3 = 0

          x = 3     

अतः शून्यक 1, -1, 3

हमें जानकारी मिली की – रैखिक बहुपद में शून्यको की संख्या एक होती है ।
द्विघात बहुपदमें शून्यको की संख्या दो होती है ।
त्रिघात बहुपद में शून्यको की संख्या तीन होती है ।

बहुपद के  शून्यकों और गुणांकों  में सबंध 

रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांकों  में सबंध

द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों  में सबंध 

यदि द्विघात बहुपद ax²+bx+c के शून्यक α और β हो तो शून्यको का योग

यदि द्विघात बहुपद ax²+bx+c के शून्यक α और β हो तो शून्यको का गुणनफल 

त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों  में सबंध 

यदि द्विघात बहुपद ax³+bx²+cx+d के शून्यक α , β , γ हो तो शून्यको का योग

यदि द्विघात बहुपद ax³+bx²+cx+d के शून्यक α , β , γ हो तो शून्यको का योग

यदि द्विघात बहुपद ax³+bx²+cx+d के शून्यक α , β , γ हो तो शून्यको का गुणनफल 

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि )- ncert 

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल 

पाठ 2 के सबंधित प्रश्नावली का हल(बहुपद प्रश्नावली 2.3 क्लास 10th)

1. प्रश्नावली 2.1 का हल
2. प्रश्नावली 2.2 का हल
3. प्रश्नावली 2.3 का हल
4. प्रश्नावली 2.4  का हल

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